BARADATU BLOG: Makalah

ANALISIS VARIANCE

1. PENGUJIAN HIPOTESIS TENTANG k MEAN ( k > 2 )

Sebagai gambaran, misalnya akan kita selidiki apakah perbedaaan mean dari sampel pertama, dengan yang sampel kedua,ketiga dan seterusnya itu disebabkan oleh factor kebetulan (chance) atau oleh factor yang benar-benar berarti (significance).

Hipotesis nihil yang akan diujikan mengatakan bahwa mean lebih dari dua populasi normal adlah sama. Asumsinya adalah bahwa variance (devisiasi standart kuadrat) dari populasi-populasi itu sama.

Misalnya kita ingin menguji hipotesis bahwa mean dari populasi sama. Untuk tujuan itu diambil sampel-sampel random dari tiap-tiap populasi tersebut. Secara skematis ditunjukkan dalam table berikut :

Tabel Sampel-sampel Random, k Sampel dengan Anggota n

Sampel 1	Sampel 2		Sampel k
X₁₁	X₁₂	……………..	X_1k
X₂₁	X₂₂	……………..	X_2k
X₃₁	X₃₂	…………….	X_3k
…..	……	……………..	……
X_n1	X_n2	…………….	X_nk

Means X₁	X₂	…………….	X_k

X_ij = Individu ke i dari sampel j

k = Banyaknya sampel

n = Banyaknya individu sampel (untuk masing-masing populasi besar sampel sama)

= Over all mean atau gran mean yakni dari semua observas

X1 + X2 + ……………. + Xk

X11 + X21 + X31 ………… + Xn1

X1 =

X12 + X22 + X32 ………… + Xn1

X2 =

X1k + X2k + X3k ………... + Xnk

Xk =

Kemudian dihitung :

1. Varian Between Means (devisiasi standard kuadrat dari mean-mean)

∑ ( X – X )²

j = i

S²x =

k – 1

S²x = dipandang sebagai harga estimasi dari

o²

o²x =

Dimana o² adalah variance populasi

Variance between means tersebut merupakan estimasi pertama dari 0²

o²

S²x =

n.∑ ( X – X )²

j = i

o² = n.S²x =

k – 1

k – 1 = merupakan degree of freedom

2. Variance Within Group

yakni variance rata-rata dari variance masing-masing sampel

S²₁ + S²₂ + ………… + S²_k

Dimana S₁, S₂ ……… dan S_k merupakan devisiasi standard dari k sampel. Ini merupakan estimasi kedua dai o²

Ditulis dengan rumus :

n k

∑ ∑ ( X – X )²

i = 1 j = i

k (n-1)

X_j = mean dari sampel j

X_ij = nilai observasi dari sampel j

k(n-1) = merupakan degree of freedom

Apabila mean populasi tersebut tidak sama, maka variansi between means akan jauh lebih besar dari pada variance within group. Distribusi samplsng harga statistik F yang didevisikan sebagai berikut :

Variance between means

F =

Variance within group

Akan berbentuk distribusi F, yang harganya untuk berbagai degree of freedom dengan

α = 0,05 dengan α = 0,01. Analisis yang digunakan untuk pengujian hipotesis tentang k mean tersebut juga dinamakan analysis of variance (ANOVA).

Langkah-langkah dalam pengujian k mean :

1. Hipotesis : H₀: µ₁= µ₂ = …….. = µ_k

H₀: µ₁ ≠ µ₂ ≠ …….. ≠ µ_k

2. Dipilih level of significance tertentu ( 0,05 atau 0,01 )

3. Kriteria pengujian

Daerah Daerah

Terima Tolak

F _{α; k – 1 (n-1)}

Degree Of Freedoom

k – 1 pembilang (numerator); k (n – 1) penyebut (denominator)

H₀diterima apabila

F ≤ F _{α; k – 1 (n-1)}

H₀ ditolah apabila

F > F _{α; k – 1 (n-1)}

4. Perhitungan nilai F

Variance between means

F =

Variance within group

5. Kesimpulan (dengan membandingkan antara langkah 4 dengan pengaturan pengujian pada langkah 3).

Contoh :

Kita ingin membandingkan 3 jenis sepeda motor dalam hal jarak yang bias dicapai dengan 1 liter bensin.

Tabel Hasil Sampel Dari 3 Jenis Sepeda Motor

Sampel ke	Jenis
Sampel ke	I	II	III
1	22	22	25
2	21	25	29
3	26	24	28
4	23	25	30
Means	23	24	28

Ujilah apakah ada perbedaan jarak rata-rata yang significant atau tidak antara 3 jenis sepeda motor tersebut. Pergunakan α = 0,05

Jawab :

k = 3; n = 4

22 + 21 + 26 + 23

X_I = = 23

22 + 25 + 24 + 25

X_II = = 24

25 + 29 + 28 + 30

X_III = = 25

23 + 24+ 28

X = = 25 ( over all mean )

1. H₀: µ_i= µ_ii = µ_iii

H₀: µ_i ≠ µ_ii ≠ µ_iii(paling sedikit satu pasanngberbeda )

2. α = 0,05

3. Kriteria Pengujian

Daerah

Daerah Terima

Terima

F _{0,005; 2,9; 4,26;}

H₀diterima apabila : F ≤ 4,26

H₀ ditolak apabila : F > 4,26

( k-1 ) = 3 – 1 = 2

k( n – 1) = 3 ( 4 – 1 ) = 9

4. Perhitungan nilai F :

∑ ( Xi – X )²

j = i

S²x =

k – 1

( 23 – 25 )² + ( 24 – 25 )² + ( 28 - 25 )²

3 – 1

4 + 1 + 9

= = 7

Estimasi harga o²

1. n.S²x

4.7 = 28

2. n k

∑ ∑ ( Xii – Xi )²

I = j j = 1

k ( n – 1 )

( 22 – 23 )²+ ( 21 – 23 )²+ ( 26 – 23 )²+ ( 23 – 23 )²+ ( 22 - 24)²+ ( 25 – 24 )²+

( 24 – 24 )²+ ( 25 – 24 )²+ ( 25– 28 )²+ ( 29 -28 )²+ ( 28 -28 )²+ ( 3 – 28 )²

3 ( 4 – 1 )

1 + 4 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 + 1 + 4

= = 3,78

F = = 7,41

3,78

5. Kesimpulan : Karena 7,41 > 4,26 maka H₀ ditolak

Untuk mengetahui pasangan nilai mean yan perbedaannya significant dapat digunakan uji “Least Sigmificantce Difference” (LSD)

LSD_α = t_α;k(n-1) S_d

S² S²

Dimana S_d= +

n_i n_j

S² S²

LSD_0,025 = t_0,025;9 x +

n_i n_j

3,78 3,78

= 2,262 +

4 4

= 2,262 (1,3748)

= 3,11

X_I = 23 X_II = 24 X_III = 28

d_ij = X_i – X _j

X_II – X_I = 24 – 23 = 1

X_II– X_I = 28 – 23 = 5

X_III – X_II = 28 – 24 = 4

Jadi yang perbedaannya significant adalah pasangan I dengan III ( dimana 5 > 3,11 ) dan pasangan II dengan III ( dimana 4 > 3,11 ).

Apabila banyaknya individu ( observasi ) dalam sampel yang satu tidak sama dengan sampel-sampel yang lain digunakan rumus sebagai berikut :

1. Variance between means

k T²j T²

∑

j=1 n_j n

k - 1

2. Variance Within Group

n k k T²_j

∑ ∑ X²_ij ∑

i=1 j=1 j=1 n_j

n – k

keterangan :

Xij = individu ke I dari sampel ke j

k = banyaknys sampel

n_j = banyaknya individu dalam sampel j (observasi)

∑ n_j j = 1,2 ……… k

j=1

T_j = jumlah semua individu dalam sampel j

T = ∑ T_j; j = 1,2 ……… k

j=1

T = T₁ + T₂ + ……… T_k

Contoh :

Misalnya kita ingin mengetahui apakah output harianuntuk macam pekerjaan yang sama dari 3 kelompok pekerjaan yang berbeda latar belakang teknisnya, mempunyai perbedaan yang significant.

Group I	Group II	Group III
56 60 50 65 64	48 61 48 52 46 46 54	55 60 44

Dengan α = 0,05, ujilah hipotesis bahwa tiganpopulasi mempunyai mean yang sama

Jawab :

1. Hipotesis nihil H₀ : µ₁ = µ₂ = µ₃

Hipotesis alternative H₁ : µ_i ≠ µ_i ≠ µ_ii

( paling sedikit satu pasang berbeda )

2. α = 0,05 degrees of freedom (k – 1)(n – k)

3. Kriteria pengujian

Daerah

Daerah Terima

Terima

F_{(0,05; 2;12)3,89}

H₀ diterima apabila F ≤ 3,89

H₀ ditolak apabila F > 3,89

4. Perhitungan :

n1 = 5 T1 = 295 T = 810

n2 = 7 T2 = 356 n = 15

n3 = 3 T3 = 159 k = 3

Variance between mean :

= 98,57

3-178

Variance Within Group :

(56²+ 50² + 65² + 64² + 48² + 61² + 48² + 52² + 46² + 45² +56² + 55² + 60² + 44²)

295² 356² 159²

- ( + + ) : (15 – 3) = 39,283

5 7 3

98,57

F = = 2,51

39,238

5. Karena F < F_{(0,05; 2;12)} yakni 2,51 < 3,89 maka H₀diterima.

2. ANALISIS VARIANCE DUA ARAH

Dalam analisis variance dua arah ( two way analysis of variance ), tidak hanya didasarkan pada satu perlakuan tetapi diperluas menjadi dua perlakuan.

Contoh :

Suatu pabrik menggunakan 3 buah mesin yang berbeda dan dioperasikan oleh 3 pekerja yang berbeda. Perusahaan ini ingin menentukan apakah perbedaan dalam jumlah produk yang rusak antara pekerja-pekerja dan perbedaan produk yang rusak antara mesin-mesin significant. Juga diinginkan untuk menguji apakah terdapat efek interaksi antara pekerja dan mesin-mesin. Untuk menguji hipotesis nihil bahwa antara pekerja hasil kerja antara pekerja-pekerja dan tidak ada perbedaan hasil kerja antara mesin-mesin, dan tidak ada efek interaksi, setiap pekerjadiminta mengoperasikan setiap mesin pada dua hari yang berbeda.

Tabel Jumlah Produk yang Rusak

Mesin	Pekerja
Mesin	C₁	C₂	C₃	Jumlah
R₁ R₂ R₃	10 13 13 16 19 14	14 16 19 27 11 17	18 22 14 18 14 17	T₁ = 93 T₂ = 207 T₃ = 82
Jumlah	T.₁ = 75	T.₂ = 104	T.₃ = 103	T = 282

Untuk menguji hipotesis, dilakukan perhitungan sebagai berikut :

T² 282² 79.524

= = = 4,418

N 18 18

j K

∑ ∑ ( 10+ 13 )²( 14 + 16 )²

j = 1 k = 1 = + + ………. + 2 2

( 14 + 17 )²

9.284

= = 4.642

n j K

∑ ∑ ∑ X_ijk²= 10² + 13² + 14² + 16²+…….+ 17²

I=j j=1 k=1 = 4.736

SST ( Sum of Squeres for the Total sampel )

n j K T2

∑ ∑ ∑ X_ijk²= 4.736 – 4.418

I=j j=1 k=1 N

= 318

SSR ( Sum of Squere between Rows )

J T²_j T² 93² 107² 82²

∑ - = + + - 4.418

J=1 nK N 6 6 6

8.649 11.449 6.724

= + + - 4.418

6 6 6

= 4.470,33 – 4.418

= 52,33

SSC ( Sum of Squeres of between Colum )

K T²._K T² 75² 104² 103²

∑ - = + + - 4.418

k=1 nJ N 6 6 6

5.625 10.816 10.609

= + + - 4.418

6 6 6

= 4.508,33 - 4.418

= 90,33

SSI ( Sum of Squeres Interaction )

T² J T²_j K T²._k J K

∑ - ∑ + ∑ ∑

N j=1 nK k=1 nJ j=1 k=1 n

= 4.418 – 4.470,33 – 4.508,33 + 4.642

= 81,34

SSE ( Sum of Squeres Error )

N j k J k

∑ ∑ ∑ X_ijk² -∑ ∑

I=1 j=1 k=1 j=1 k=1 n

= 4.736 – 1612

= 94

Langkah-langkah dalam pengujian hipotesis :

1. H₀ a. α₁ = α₂= α₃ = 0

b. β₁= β₂ = β₃ = 0

c. (αβ)₁₁ = (αβ)₁₂……. = (αβ)₃₃ = 0

H₁ a. Paling sedikit satu α₁ tidak sama dengan nol.

b. Paling sedikit satu β₁ tidak sama dengan nol.

c. . Paling sedikit satu (αβ)_ij tidak sama dengan nol.

2. Penentuan nilai F Tabel dengan α = 0,05

a. Nilai F_0,05;2,9= 4,26

b. Nilai F_0,05;2,9= 4,26

c. Nilai F_0,05;4,9= 4,63

3. Kriteria pengujian

Daerah

Daerah Terima

Terima

_{4,26 F}

H₀ diterima apabila F ≤ 4,26

H₀ ditolak apabila F > 4,26

Daerah

Daerah Terima

Terima

_{4,26 F}

H₀ diterima apabila F ≤ 4,26

H₀ ditolak apabila F > 4,26

Daerah

Daerah Terima

Terima

_{4,63 F}

H₀ diterima apabila F ≤ 4,63

H₀ ditolak apabila F > 4,63

4. Perhitungan Nilai F

Sumber Variasi	Jumlah Kuadrat	Derajat Bebas	Jumlah Kuadrat Rata-rata	F Ratio
Baris R Kolom C Interaksi Error E	52,33 90,33 81,34 94	J - 1 (2) k – 1 (2) (J-1)(K-1) (4) JK(n-1) (9)	52,33 = 26,17 2 90,33 = 45,17 2 81,34 = 20,34 4 94 = 10,44 9	26,17 = 2,51 10,44 45,17 = 4,34 10,44 20,34 = 1,95 10,44
Total T	318	N-1 (17)

5. Kesimpulan

a. H₀ tidak ada perbedaan hasil kerja antara mesin-mesin, dapat diterima pada

α = 0,05 ( 2,51 < 4,26 )

b. H₀ tidak ada perbedaan hasil kerja antara pekerja-pekerja, ditolak pada

α = 0,05 ( 4,34 > 4,26 )

c. H₀ bahwa tidak ada efek interaksi antara mesin dan pekerja, dapat diterima pada

α = 0,05 ( 1,95 < 3,63 )

3. PENGUJIAN DUA HIPOTESIS MENGENAI DUA ARAH

Untuk menguji dari masing-masing populasi diambil sampel dan kemudian dihitung variancenya.

S²₁ = Varianc dari sampel 1 dengan n1 individu

S²₂ = Varianc dari sampel 2 dengan n2 individu

S²₁

Kita gunakan dasar pemikiran adanya distribusi sampling dari

S²₂

yang berbentuk distribusi nilai F

Langkah-langkah

1. Menentukan komposisi H₀ dan H₁

a. H₀ : o² = o²

H₁: o²₁ ≠ o²₂

b. H₀ : o² = o²

H₁ : o²₁ > o²₂

c. H₀ : o² = o²

H₁ : o²₁ < o²₂

2. Dipilih level of significance tertentu (0,05 atau 0,01)

3. Kriteria Pengujin

a. Apabila S²₁ > S²₂

H₀diterima apabila : F ≤ Fα / 2; n₁ - 1; n₂ - 1

H₀diterima apabila : F > Fα / 2; n₁ - 1; n₂ – 1

Apabila S²₂ > S²₁

H₀diterima apabila : F ≤ Fα / 2; n₁ - 1; n₁ - 1

H₀diterima apabila : F > Fα / 2; n₁ - 1; n₁ – 1

b. H₀diterima apabila : F ≤ Fα / 2; n₁ - 1; n₂ - 1

H₀diterima apabila : F > Fα / 2; n₁ - 1; n₂ – 1

c. H₀diterima apabila : F ≤ Fα / 2; n₂ - 1; n₁ - 1

H₀diterima apabila : F > Fα / 2; n₂ - 1; n₁ – 1

Keterangan degree of freedom :

- yang disebut lebih dahulu merupakan pembilang

- yang disebut lebih kemudisn merupakan penyebut

4. Perhitungan Nilai F :

Variance yang besar

F =

Variance yang kecil

S²₁

F =

S²₂

S²₁

F =

S²₂

5. Kesimpulam : alakah hipotesis nihil diterima atau ditolak

Contoh :

Ada dua buah metide kerja yang dicoba diterapkan oada pekerja-pekerja disuatu perusahaan. Yang menjadi masalah adalah metode manakah diantara dua metode itu yang lebih sesuai / efektif bagi pekerja-pekerja tersebut. Dari kelompok pekerja yang menjalankan cara kerja A diambil sampel random 10 orang menunjukkan S²_A = 12,8 sedangkan dari kelompok pekerja yang melaksanakan metode kerja B diambil sampel random 8 orang menunjukkan S²_B = 18,2. Apakah kedua metode kerja tersebut sama efektifnya ( gunakan α = 0.01 ).

Jawab :

1. H₀ : o² = o²_B

H₀ : o²_A ≠ 0²_B

2. α = 0.01

3. Kriteria Pengujian : S²_A > S²_B, maka

H₀ diterima apabila F ≤ F_{0,005; 8–1; 10-1}

F ≤ 3,29

H0 ditolak apabila F ≤ 3,29

4. Besarnya nilai F :

18,2

F = = 1,42

12,8

5. Akrena 1,42 < 3,29 maka H0 diterima.Kedua metode kerja tersebut sama efektif.

BARADATU BLOG

Kumpulan Proposal Skripsi

Kumpulan Makalah Komputer

STATISTIK PROBABILITAS